Як правильно будите чи будете?

«Будете» — форма дієслова «бути», який відноситься до першого відмінювання (оскільки закінчується не на «-ить»). Тому в особистих закінченнях цього дієслова потрібно писати літери "Е, У/Ю": "будеш", "будете", "буде", "будуть".

Як правильно пишеться слово?

З погляду правил російської орфографії вірним є таке написання слова: прийти. Ми пишемо «йти», але в слові «прийти» ніякого «дт» немає.