Голосні та приголосні в приставках, крім приставок на -з (-с) і приставок пре-і при-, пишуться однаково незалежно від вимови.

Як правильно пишеться слово тутешнє?

Як ви написали, так і пишеться-тутешній. тутешній-існуючий, тут, місцевий, що живе тут. Це відносне прикметник.

Чи можна казати тутешній?

До видів, що мають помилкове найменування, потрапила комаха Bombyx mori, яка раніше мала назву "тутовий шовкопряд". «Це, звичайно ж, груба помилка. правильно говорити "тутешній".