Правильним вважається _квартал_. Варіант із наголосом на перший склад не рекомендується.

Як правильно ставити наголос кварталі?

Так, саме квартал. У всіх значеннях наголос у цьому слові слід ставити на останній склад.

Як правильно говорити клала чи клала?

Правильно – «Клала», і тільки так, з наголосом на першому складі.